Lagrangeov polinom

Interpolacija putem Lagranžovih polinoma je postupak u kome je za $n+1$ tačaka uz pomoć Langražovih polinoma potrebno da se nađu nove vrednosti neke nepoznate funkcije ili funkcije čije je izračunavanje preteško (vremenski prenaporno ili čak nemoguće).

Slika prikazuje četiri tačke ((−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9)), i (kubni) interpolacioni polinom L(x), koji je zbir skaliranih baznih polinoma y₀l_0(x), y₁l₁(x), y₂l₂(x) i y₃l₃(x). Interpolacioni polinom prolazi kroz sve četiri kontrolne tačke, i svaki skalirani bazni polinom prolazi kroz svoju kontrolnu tačku, i jednak je 0 tamo gde x odgovara ostalim trima kontrolnim tačkama.

Ideja iza postupka je vrlo slična drugim metodama (Njutnovoj metodi, na primer): Polazeći od poznatih tačaka konstruiše se nova osnova nekog prostora. Onda se data funkcija (odnosno njene poznate vrednosti za date tačke) transformiše u taj novi prostor. Malo neformalnije rečeno, od nje se pravi polinom, a ona služi pre svega kao uzor. Time se dobija nova, približna funkcija (polinom) koji može da se izračuna.

Osnova za Langražov polinom je:

$l_i(x)=\prod _{j=0,j\ne i}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$

Približna funkcija koja aproksimira $f(x)$ je $P(x)$; $x_i$ su tačke za koje su poznate vrednosti date funkcije:

$P(x)=\sum _{i=0}^{n}f(x_i)l_i(x)$

Gledajući $l_i(x)$ za $i\in \{1,2,3,4,5\}$:

$l_0(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\cdot \frac{x-x_2}{x_0-x_2}\cdot \frac{x-x_3}{x_0-x_3}\cdot \frac{x-x_4}{x_0-x_4}$

$l_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\cdot \frac{x-x_2}{x_1-x_2}\cdot \frac{x-x_3}{x_1-x_3}\cdot \frac{x-x_4}{x_1-x_4}$

$l_2(x)=\frac{x-x_0}{x_2-x_0}\cdot \frac{x-x_1}{x_2-x_1}\cdot \frac{x-x_3}{x_2-x_3}\cdot \frac{x-x_4}{x_2-x_4}$

$l_3(x)=\frac{x-x_0}{x_3-x_0}\cdot \frac{x-x_1}{x_3-x_1}\cdot \frac{x-x_2}{x_3-x_2}\cdot \frac{x-x_4}{x_3-x_4}$

$l_4(x)=\frac{x-x_0}{x_4-x_0}\cdot \frac{x-x_1}{x_4-x_1}\cdot \frac{x-x_2}{x_4-x_2}\cdot \frac{x-x_3}{x_4-x_3}$

postaje jasnije zašto su takvi polinomi baš izabrani. Na svim mestima $x_{j\ne i}$ polinom ima nulto mesto, a kod $x_i$ ima vrednost 1. Tako je osigurano da će navedeni polinom da prođe tačno kroz date tačke odnosno da će za sve $P(x_i)$ da važi $P(x_i)=f(x_i)$.

Primer

Poznata je vrednost polinoma u 3 različite tačke :

X	1	2	3
Y	3	-1	1

Ekstrapolacijom se dobija polinom :

$P(x)=3\cdot \frac{x-2}{1-2}\cdot \frac{x-3}{1-3}+(-1)\cdot \frac{x-1}{2-1}\cdot \frac{x-3}{2-3}+1\cdot \frac{x-1}{3-1}\cdot \frac{x-2}{3-2}$