Laplaceov operator

Laplasov operator, u matematici, je eliptički diferencijalni operator drugog reda. Ima brojne primene širom matematike, te u fizici, elektrostatici, kvantnoj mehanici, obradi snimaka, itd. Nazvan je po francuskom matematičaru Pjeru Simonu Laplasu.

Imajući u vidu pojmove divergencije i gradijenta, za datu skalarnu funkciju $u = u (x, y, z)$ , biće:

d i v g r a d u = (\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}, \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}})

,

što se može napisati kao:

d i v g r a d u = (\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}, \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}) u

.

Desna strana poslednjeg izraza, bez oznake za funkciju $u$ , predstavlja Laplasov operator i obeležava se sa delta - Δ:

Δ = (\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}, \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}})

.

Koristeći operator nabla, taj izraz možemo zapisati kao:

\nabla^{2} ϕ = \nabla \cdot (\nabla ϕ) .

Koordinatni izrazi

U jednodimenzionalnom i dvodimenzionalnom Dekartovom koordinatnom sistemu Laplasov operator je:

Δ_{1} \equiv \nabla_{1}^{2} = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}, Δ_{2} \equiv \nabla_{2}^{2} = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} .

U trodimenzionalnom Dekartovom koordinatnom sistemu je :

Δ_{3} \equiv \nabla_{3}^{2} = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} .

U trodimenzionalnom cilindričnom koordinatnom sistemu je:

\nabla^{2} t = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial t}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} t}{\partial ϕ^{2}} + \frac{\partial^{2} t}{\partial z^{2}}

U trodimenzionalnom sfernom koordinatnom sistemu je :

\nabla^{2} t = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial t}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ \frac{\partial t}{\partial θ}) + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} θ} \frac{\partial^{2} t}{\partial ϕ^{2}}

U Euklidskom prostoru $ℝ^{n}$ Laplasov operator je dat u standardnim koordinatama kao

Δ_{n} = \nabla_{n}^{2} = \sum_{j = 1}^{n} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}^{2}}

.

Laplasov operator u opštim krivolinijskim koordinatama dan je sa:

\nabla^{2} f (q_{1}, q_{2}, q_{3}) = div grad f (q_{1}, q_{2}, q_{3}) =

= \frac{1}{H_{1} H_{2} H_{3}} [\frac{\partial}{\partial q_{1}} (\frac{H_{2} H_{3}}{H_{1}} \frac{\partial f}{\partial q_{1}}) + \frac{\partial}{\partial q_{2}} (\frac{H_{1} H_{3}}{H_{2}} \frac{\partial f}{\partial q_{2}}) + \frac{\partial}{\partial q_{3}} (\frac{H_{1} H_{2}}{H_{3}} \frac{\partial f}{\partial q_{3}})],

gde su

H_{i}

U slučaju Rimanovoga krivolinijskoga prostora definisanoga metričkim tenzorom $g_{i j}$ Laplasijan je dan sa:

\nabla^{2} f = \frac{1}{\sqrt{g}} \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial}{\partial x^{i}} (\sqrt{g} \sum_{k = 1}^{n} g^{i k} \frac{\partial f}{\partial x^{k}})

a metrika prostora definisana je sa:

d s^{2} = \sum_{i, j = 1}^{n} g_{i j} d x^{i} d x^{j}

.

Laplasov operator je linearan:

\nabla^{2} (f + g) = \nabla^{2} f + \nabla^{2} g .

Takođe važi :

\nabla^{2} (f g) = (\nabla^{2} f) g + 2 (\nabla f) \cdot (\nabla g) + f (\nabla^{2} g) .

Laplasov operator se može uopštiti na više načina. Dalamberov operator je definisan na prostoru Minkovskog. Laplas-Beltramijev operator je eliptički diferencijalni operator drugog reda definisan na svakoj Rimanovoj mnogostrukosti. Laplas-de Ramov operator dejstvuje na prostorima diferencijalnih formi na pseudo-Rimanovim površima.