Limes (matematika)

Limes je jedan od osnovnih pojmova u matematičkoj analizi.

Limes niza

Neka je $(a_n)$ niz realnih ili kompleksnih brojeva. Reći ćemo da niz $(a_n)$ konvergira broju L (realan ili kompleksan broj) ako vrijedi $(\mathrm{\forall }ϵ>0(\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N})(n\in \mathbb{N},n>n_0\Rightarrow |a_n-L|<ϵ)$. Možemo to interpretirati na način da kažemo da za dovoljno velike n-ove članovi niza će biti sve bliže broju L. Poznavajući realne nizove možemo poznavati i kompleksne nizove jer vrijedi da kompleksan niz $(z_n)$ možemo pisati kao $z_n=a_n+i{b}_n$, gdje su $a_n$ i $b_n$ realni nizovi. Ako niz $z_n$ konvergira k $z=a+ib$, onda vrijedi da je $\underset{n}{\lim }{a}_n=a$ i isto za niz $b_n$ (što je lagano za pokazati).

Ako niz realnih brojeva nije konvergentan kažemo da je divergentan.

Limes niza se "dobro" ponaša i na računske operacije. Za nizove $(a_n),(b_n)\subseteq ℝ$ takve da $\underset{n}{\lim }{a}_n=A,\underset{n}{\lim }{b}_n=B$ i $c\in ℝ$ vrijedi:

$\underset{n}{\lim }(a_n+b_n)=A+B$

$\underset{n}{\lim }(c\cdot a_n)=c\cdot A$

$\underset{n}{\lim }(a_n\cdot b_n)=A\cdot B$

$B\ne 0\Rightarrow \underset{n}{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}$

$|\underset{n}{\lim }{a}_n|=\underset{n}{\lim }|a_n|$

Limes funkcija

Neka je $\mathrm{\varnothing }\ne I\subseteq ℝ$, $c\in ⟨a,b⟩$,$⟨a,b⟩\setminus \{c\}\subseteq I$ i $f:I\to ℝ$ funkcija. Kažemo da ƒ ima limes $L\in ℝ$ u točki c ili da ƒ konvergira prema L kada x teži prema c ako vrijedi $((a_n)\subseteq ⟨a,b⟩\setminus \{c\},\underset{n}{\lim }{a}_n=c\Rightarrow \underset{n}{\lim }f(a_n)=L$ što pišemo $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$. To možemo izreći na način da kažemo da čim neki niz koji je sadržan u okolini c i teži k c, a nije baš c (jer mi ne znamo jeli c u domeni ili ne) da tada niz funkcijskih vrijednosti teži prema L.

Postoji i tzv. epsilon-delta definicija koji je ekvivalentna definiciji preko nizova. Pa neka je $f:I\to ℝ,I\subseteq ℝ$. Kažemo da ƒ ima limes $L\in ℝ$ u $c\in I$ ako vrijedi $(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(x\in I,0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ)$