Linearna jednačina

Grafički primer linearne jednačine.

Linearna jednačina je algebrska jednačina u kojoj je svaki član bilo konstanta ili proizvod konstante i jedne promenljive prvog reda.

O pravcu se može razmišljati kao o najkraćoj udaljenosti između dviju točaka ili kao o krivulji s beskonačno velikim radijusom zakrivljenosti. Pojmovi kao što su točke i pravci te njihovi jednostavni i složeniji odnosi u prostoru jedan su od temelja Euklidske geometrije, a kasnije i analitičke geometrije kakvu je danas poznajemo.

Jednadžba pravca

Implicitna jednadžba pravca

Razmatramo li jednakost oblika

$Ax+By+C=0$

ustanovit ćemo da postoji beskonačan broj parova x,y koji udovoljavaju jednakosti. Kako svaki uređen par brojeva u kartezijanskom koordinatnom sustavu x0y određuje koordinate jedne točke, grafički prikaz svih točaka daje nam sliku pravca u ravnini, a gore prikazanu jednadžbu nazivamo implicitnom ili općom jednadžbom pravca.

Eksplicitna jednadžba pravca

Preuredimo li implicitnu jednadžbu pravca

$Ax+By+C=0$

u drugi oblik kako slijedi

$By=-Ax-C$

$y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}$

naći ćemo i eksplicitnu jednadžbu pravca koja se može zapisati i u obliku

$y=ax+b$

gdje a i b ovise o A, B i C na način da je

$a=-\frac{A}{B}$

$b=-\frac{C}{B}$

Eksplicitna jednadžba pravca izravno prikazuje koficijent smjera pravca, odn. nagib pravca a te odsječak b koji pravac određuje na y-osi, odn. ordinati.

Segmentna jednadžba pravca

Grafički prikaz pravca y=ax+b i njegovih odsječaka na osima x i y.

Preuredimo li sada eksplicitnu jednadžbu pravca

$y=ax+b$

u treći oblik kako slijedi

$y-ax=b$

$\frac{y}{b}-\frac{ax}{b}=1$

$\frac{y}{b}+\frac{x}{\frac{-b}{a}}=1$

naći ćemo i jednadžbu pravca u segmentnom obliku gdje su b i -b/a segmenti ili odsječci na y, odn. x-osi. Segmentna jednadžba pravca može se zapisati i u sljedećem obliku

$\frac{x}{m}+\frac{y}{n}=1$

gdje su

$m=-\frac{b}{a},$

$n=b.$

Druge oznake

Ponekad se implicitna jednadžba pravca iskazuje u obliku

$ax+by+c=0$

gdje se tada eksplicitna jednadžba pravca prikazuje kao

$y=kx+l$

gdje je k koeficijent smjer pravca, a l odsječak na y-osi.

Određenost pravca

Pravac je u ravnini određen ili sa zadanom točkom kroz koju prolazi pravac i koeficijentom smjera ili s dvjema zadanim točkama kroz koje pravac prolazi.

Pravac određen točkom i koeficijentom smjera

Neka je pravac određen točkom $T^{″}(x_1,y_1)$ i koeficijentom smjera a. Jednadžba pravca se u tom slučaju uobičajeno prikazuje u obliku

$y-y_1=a(x-x_1)$.

Pravac određen dvjema točkama

Pravac je po definiciji određen dvjema točkama koje nisu jednake, a jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke ${T_1}^{″}(x_1,y_1)$ i ${T_2}^{″}(x_2,y_2)$ prikazuje se uobičajeno u obliku

$y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$.

Značaj

Pravac, njegovu grafičku i matematičku interpretaciju nalazimo u brojnim područjima matematike i ne samo matematike. Naime, razmotrimo li eksplicitni oblik jednadžbe pravca

$y=ax+b$

i ukoliko definiramo da je x slobodna promjenljiva veličina, odn. nezavisna varijabla, a y zavisna varijabla gdje će nezavisna varijabla poprimati vrijednosti iz domene realnih brojeva i gdje će se svakom elementu domene pridružiti jedan i samo jedan odgovarajući element kodomene, tada gore prikazani izraz možemo nazvati funkcijom gdje je

$y=f(x)=ax+b$

Kodomenu nazivamo i područjem vrijednosti funkcije, a u slučaju gdje je funkcija oblika: $y=ax+b$, funkciju nazivamo i linearnom funkcijom, a pravac grafom ili grafičkim prikazom takve funkcije. Linearna funkcija uključuje i proporcionalnu, odn. razmjernu funkciju oblika

$y=f(x)=ax$

koju slijede brojni prirodni zakoni i pojave u svim područjima znanosti.

Literatura

• Šablon:Citation
• Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis: Eine anwendungsorientierte Einführung. 5. Auflage. Springer-Verlag, 2008, Šablon:ISBN.
• Bernd Aulbach: Gewöhnliche Differenzialgleichungen. 2. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 2004, Šablon:ISBN.
• Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen. 7. Auflage. Vieweg, 2009, Šablon:ISBN.
• Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 6. Auflage. Springer-Verlag, 2010, Šablon:ISBN.
• Gerd Fischer: Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger. 17. Auflage. Vieweg Verlag, 2009, Šablon:ISBN.
• Günter Gramlich: Lineare Algebra. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag, 2003, Šablon:ISBN.
• Jürgen Jost: Partielle Differentialgleichungen: Elliptische (und parabolische) Gleichungen. 1. Auflage. Springer-Verlag, 2009, Šablon:ISBN.

Vanjske veze

• Linear Equations and Inequalities Šablon:Webarchive Open Elementary Algebra textbook chapter on linear equations and inequalities.
• Šablon:Springer