Rydbergova konstanta

Ridbergova konstanta, R, je fizička konstanta koja se sreće u atomskoj spektroskopiji pri opisivanju frekvencija spektralnih linija jednoelektronskih sistema. Kao i formula, Ridbergova formula, u kojoj se javlja, ime je dobila po Johanesu Ridbergu švedskom fizičaru s kraja devetnaestog i početka dvadesetog veka. KOnstanta je otkrivena u analizi spektralnih serija vodonikovog atoma čime su se prvi bavili Angstrem i Balmer. Svaki hemijski element ima sopstvenu Ridbergovu konstantu koja može da se izračuna iz „beskonačne“ Ridbergove konstante.

Ridbergova konstanta je jedna od najtačnije određenih fizičkih konstanti sa neizvesnošću manjom od 7 delova na trilion (7:10¹²). Toliko tačno eksperimentalno merenje omogućuje utvrđivanje odnosa među drugim fizičkim konstantama kojima se definisana Ridbergova konstanta.

$\frac{1}{\lambda }=R(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2})$.

Danas usvojena vrednost za „beskonačnu“ Ridbergovu konstantu (prema CODATA) iznosi:

$R_{\mathrm{\infty }}=\frac{m_e{e}^4}{(4\pi {ϵ}_0{)}^2{\hslash }^{3}4\pi c}=\frac{m_e{e}^4}{8{ϵ}_0^2{h}^{3}c}=1,0973731568525(73)\cdot 10^7{\mathrm{m}}^{-1}$

gde je

$\hslash$ redukovana Plankova konstanta,

$m_e$ masa mirovanja elektrona,

$e$ elementarno naelektrisanje,

$c$ brzina svetlosti u vakuumu, i

${ϵ}_0$ permitivnost vakuuma.

U atomskoj fizici konstanta se često koristi u obliku energije:

$hc{R}_{\mathrm{\infty }}=13,6056923(12)\mathrm{e}\mathrm{V}\equiv 1\mathrm{R}\mathrm{y}$

"Beskonačna“ konstanta javlja se u formuli:

$R_M=\frac{R_{\mathrm{\infty }}}{1+m_e/M}$

gde je

$R_M$ Ridbergova konstanta jednoelektronskog jona/atoma

$M$ masa atomskog jezgra atoma/jona.

Alternativni izrazi

Ridbergova konstanta može da se prikaže i na sledeći način

$R_{\mathrm{\infty }}=\frac{{\alpha }^2{m}_{e}c}{4\pi \hslash }=\frac{{\alpha }^2}{2{\lambda }_e}$

i

$hc{R}_{\mathrm{\infty }}=\frac{hc{\alpha }^2}{2{\lambda }_e}=\frac{h{f}_C{\alpha }^2}{2}=\frac{\hslash {\omega }_C}{2}{\alpha }^2$

gde je

$h$ Plankova konstanta,

$c$ brzina svetlosti u vakuumu,

$\alpha$ konstanta fine strukture,

${\lambda }_e$ Komptonova talasna dužina elektrona,

$f_C$ Komptonova frekvencija,

$\hslash$ redukovana Plankova konstanta, i

${\omega }_C$ Komptonova ugaona frekvencija elektrona.

Ridbergova konstanta vodonika

Unošenjem vrednosti za odnos mase elektrona i protona $m_e/m_p=5,4461702173(25)\cdot 10^{-4}$, nalazimo da je Ridnergova konstanta vodonika, $R_H$.

$R_H=10967758,341\pm 0,001{\mathrm{m}}^{-1}$

Unošenjem ove vrednosti u Ridbergovu formulu, možemo da izračunamo položaj linija emisionog spektra vodonika.

Izvođenje izraza za Ridbergovu konstantu

Ridbergova konstanta može da se izvede na osnovu Borovih postulata

• Borov uslov,

  Moment ipulsa elektrona može da poprimi samo izvesne diskretne vrednosti:

  $L=m_{e}vr=n\frac{h}{2\pi }=n\hslash$

  gde je n = 1,2,3,… (ceo broj) glavni kvantni broj, h Plankova konstanta, i $\hslash =h/(2\pi )$.

  $r$ je radijus elektronske orbite

• Sila koja održava elektron u kružnom kretanju (centripetalna) je

  $F_{centripetal}=\frac{m_e{v}^2}{r}$

  gde je

  $m_e$ masa mirovanja elektrona, a $v$ brzina elektrona

• Elektrostatička sila privlačenja između elektrona i protona je

  $F_{electric}=\frac{e^2}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}$

  gde je

  $e$ elementarno naelektrisanje,

  ${ϵ}_0$ permitivnost vakuuma.

• Prema Borovom modelu totalna energija elektrona u orbiti radijusa $r$ je

  $E_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}=-\frac{e^2}{8\pi {ϵ}_{0}r}$

Prvo iz Borovog postulata nalazimo da su dopuštene brzine elektrona

$v$

:

$v=\frac{nh}{2\pi r{m}_e}$

Onda nalazimo da za stabilnu kružnu orbitu centripetalna sila mora biti jednaka privlačnoj elektrostatičkoj sili, $F_{centripetal}=F_{electric}$ pa nalazimo

$\frac{m_e{v}^2}{r}=\frac{e^2}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}$

Zamenom u ovom izrazu dobijene elektronske brzine $v$ i rešavanjem po $r$ nalazimo dopuštene vrednosti za radijus elektronske orbite

$r=\frac{n^2{h}^2{ϵ}_0}{\pi m_e{e}^2}$

Zamenom ovako dobijenog radijusa, $r$, u izrazu za elektrostatičku potencijalnu energiju elektrona u istoj orbiti nalazimo

$E_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}=\frac{-m_e{e}^4}{8{ϵ}_0^2{h}^2}.\frac{1}{n^2}$

Dakle, promena energije pri prelazu elektrona iz jedne orbite (početne, initial) u drugu (konačne, final) je

$\mathrm{\Delta }E=\frac{m_e{e}^4}{8{ϵ}_0^2{h}^2}(\frac{1}{n_{\mathrm{i}}^2}-\frac{1}{n_{\mathrm{f}}^2})$

Prelaskom iz energije u talasni broj $(\frac{1}{\lambda }=\frac{E}{hc}\to \mathrm{\Delta }E=hc\mathrm{\Delta }\left(\frac{1}{\lambda }\right))$ nalazimo

$\mathrm{\Delta }\left(\frac{1}{\lambda }\right)=\frac{m_e{e}^4}{8{ϵ}_0^2{h}^{3}c}(\frac{1}{n_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{l}}^2}-\frac{1}{n_{\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}}^2})$

gde je

$h$ Plankova konstanta,

$m_e$ masa mirovanja elektrona,

$e$ elementarno naelektrisanje,

$c$ brzina svetlosti u vakuumu, i

${ϵ}_0$ permitivnost vakuuma.

a

$n_{\mathrm{i}}$ i $n_{\mathrm{f}}$ su kvantni brojevi orbita među kojima dolazi do elektronskog prelaza.

Dakle, nalazimo da je Ridbergova konstanta atoma vodonika

$R_H=\frac{m_e{e}^4}{8{ϵ}_0^2{h}^{3}c}$

Videti

• Ridbergova formula

Literatura

• Mathworld

S. Macura, J. Radić-Perić, ATOMISTIKA, Službeni list, Beograd, 2004., str. 92.