Tok polja

Pogledajte također "Tok (mitologija)".

U matematici i fizici tok ili fluks (lat. fluo, 3., fluxi, fluctum - teći) (vektorskog) polja je jedna od najreprezentativnijih veličina za polja. Intuitivno ga predočavamo upravo kako i naziv kaže: kao tok fluida kroz određenu površinu u određenom vremenu.

Definicija

Datoteka:Tok vektorskog polja.png

Shema za tok vektorskoga polja

Zamislimo da kroz element površine $dS$ teče fluid; zanima nas koliko fluida prođe kroz zadanu površinu u jedinici vremena. Očito će u jedinici vremena proteći jedan obujam paralelepipeda (v. sl.), pa je element toka

$d\mathrm{\Phi }=hdS=vdS\cos \phi ,$

a kako je

$v\cos \phi =\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}$

(gdje je $\overrightarrow{n}$ vektor normale na površinu $dS$), slijedi

$d\mathrm{\Phi }=\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}dS=\overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{S}.$

Odatle je

$\mathrm{\Phi }\stackrel{def.}{=}\underset{S}{\int }\overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{S}.$

Svojstvo

Ukoliko je površina zatvorena, tok postaje

$\mathrm{\Phi }=\underset{S}{\oint }\overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{S}.$

Stoga, ako je vektor $\overrightarrow{v}$ konstantan, fluks je

$\mathrm{\Phi }=\underset{S}{\oint }\overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{S}=\overrightarrow{v}\underset{S}{\oint }d\overrightarrow{S}=0,$

jer je integral vektora zatvorene površine jednak nuli. Vidimo da nam tok pokazuje polje u određeoj cjelokupnoj zapremini, obuhvaćenoj određenom površinom po kojoj integriramo, i tako nam služi kao kvantitativna mjera polja u obujmu.

Međutim, nekada je potrebno naći takvu mjeru ne samo u cijelom obujmu, nego u pojedinim točkama prostora. Za to nam služi divergencija.

Vezani pojmovi

• Vektorsko polje
• Divergencija
• Rotacija
• Hidrodinamika
• Električno polje
• Magnetsko polje
• Vektorske operacije u zakrivljenim koordinatama