Elipsa

Za stilsku figuru, pogledajte Elipsa (književnost)

Vrste konusnih presjeka (kružnica, elipsa, parabola i hiperbola)

Elipsa (starogrč. ἔλλειψις, nedostatak) je u matematici kriva zatvorena linija u ravni, koja se može defniisati kao geometrijsko mesto tačaka čiji je zbir rastojanja od dve fiksirane tačke uvek jednak. Ove dve tačke se još nazivaju fokusima elipse, a tačka koja se nalazi tačno između njih je centar elipse.

Elipsa ima dva prečnika (poluprečnika) koji predstavljaju minimalno i maksimalno rastojanje njenih tačaka od njenog centra.

Ose elipse su prave koje sadrže njene prečnike. Prva prolazi kroz obe fokusne tačke, a druga prolazi kroz njen centar, i normalna je na prvu.

Ukoliko su fokusne tačke elipse jedna te ista tačka, radi se o specijalnom slučaju elipse, koji se naziva krug.

Analitička definicija

Analitički posmatrano, elipsa je kriva drugog reda:

$f(x,y)={\alpha }_{11}{x}^2+2{\alpha }_{12}xy+{\alpha }_{22}{y}^2+2{\alpha }_{13}x+2{\alpha }_{23}y+{\alpha }_{33}=0$ (opšta jednačina krive drugog reda)

Koja zadovoljava sledeće uslove:

1. 
   $\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{ccc}{\alpha }_{11}& {\alpha }_{12}& {\alpha }_{13}\\ {\alpha }_{12}& {\alpha }_{22}& {\alpha }_{23}\\ {\alpha }_{13}& {\alpha }_{23}& {\alpha }_{33}\end{array}\right|\ne 0$
   
   
2. 
   $\delta =\left|\begin{array}{cc}{\alpha }_{11}& {\alpha }_{12}\\ {\alpha }_{12}& {\alpha }_{22}\end{array}\right|>0$
   
   
3. Za realnu elipsu: $T\cdot \mathrm{\Delta }=({\alpha }_{11}+{\alpha }_{22})\cdot \mathrm{\Delta }<0$
   Za imaginarnu elipsu (prazan skup): $T\cdot \mathrm{\Delta }>0$

Ukoliko su ose elipse paralelne sa osama dekartovog koordinatnog sistema, ova jednačina izgleda ovako:

${\alpha }_{11}{x}^2+{\alpha }_{22}{y}^2-{\alpha }_{33}=0$

Što se može zapisati i kao

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

U ovoj jednačini su -{a}- i -{b}- u stvari veličine poluprečnika elipse.

Površina

Površina elipse je:

$P=ab\pi$

gde su -{a}- i -{b}- poluprečnici elipse, a pi matematička konstanta.

Ekscentricitet

Ekscentricitet je konstanta karakterisitična za svaku elipsu. Predstavlja minimalno rastojanje fokusne tačke elipse od elipse, duž ose. Izračunava se kao:

$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$

gde su -{a}- i -{b}- dužine poluprečnika elipse. Ukoliko se sa -{c}- označi rastojanje između fokusnih tačaka elipse, -{e}- će biti:

$e=\frac{c}{a}$

Obim

Obim elipse se može predstaviti na razne načine:

Beskonačni redovi:

$O=2\pi a\left[1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2{e}^2-{\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)}^2\frac{e^4}{3}-{\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)}^2\frac{e^6}{5}-\dots \right]$

Što je isto što i:

$O=2\pi a\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\{-{\left[\prod _{m=1}^n\left(\frac{2m-1}{2m}\right)\right]}^2\frac{e^{2n}}{2n-1}\}$

Dobru aproksimaciju ove vrednosti je napravio Ramanudžan:

$O\approx \pi [3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}]$

Koja se takođe može zapisati kao:

$O\approx \pi a[3(1+\sqrt{1-e^2})-\sqrt{(3+\sqrt{1-e^2})(1+3\sqrt{1-e^2})}]$

U specijalnom slučaju, kada je manja osa duplo manja od veće ose, važi:

$O\approx \pi a(9-\sqrt{35})/2$