Inverz (matematika)

U matematici, pojam inverznog elementa predstavlja uopštenje pojmova negacije, u odnosu na sabiranje, i recipročnosti, u odnosu na množenje. Intuitivno, inverz može da poništi efekat kombinacije nekog elementa sa drugim datim elementom.

Formalna definicija

Neka je $S$ skup sa binarnom operacijom $*$. Ako je $e$ neutralni element za $(S,*)$ i $a*b=e$, onda je $a$ levi inverz od $b$ a $b$ je desni inverz od $a$. Ako je element $x$ ujedno i levi i desni inverz od $y$, onda se $x$ naziva dvostranim inverzom, ili prosto inverzom, od $y$. Element koji ima dvostrani inverz u $S$ se naziva invertibilnim u $S$. Element koji ima inverz samo sa jedne strane je levo invertibilan, ili desno invertibilan.

Kao što je za $(S,*)$ moguće da ima više levih identiteta ili više desnih identiteta, moguće je da element ima više levih inverza ili više desnih inverza (ali treba imati u vidu da njihova gornja definicija koristi dvostrani identitet, $e$). Element može čak da ima više levih inverza i više desnih inverza.

Ako je operacija $*$ asocijativna, onda ako element ima i levi i desni inverz, oni su jednaki i jedinstveni. U ovom slučaju, skup (levo i desno) invertibilnih elemenata je grupa koja se naziva grupom jedinica od $S$, u oznaci $U(S)$ ili $S^{*}$.

Računanje

Svaki realan broj $x$ ima aditivni inverz (inverz u odnosu na sabiranje) jednak $-x$. Svaki realan broj različit od nule, $x$ ima multiplikativni inverz (inverz u odnosu na množenje) jednak $\frac{1}{x}$. Nula nema multiplikativni inverz.

Funkcija $g$ je levi (ili desni) inverz funkcije $f$ (za kompoziciju funkcija), ako i samo ako je $gof$ (ili $fog$) funkcija identiteta na domenu (ili kodomenu) funkcije $f$.

Kvadratna matrica $M$ sa elementima iz polja $K$ je invertibilna (u skupu svih kvadratnih matrica iste dimenzije, u odnosu na množenje matrica) ako i samo ako je njena determinanta različita od nule. Ako je determinanta matrice $M$ jednaka nuli, nemoguće je da ta matrica ima jednostrani inverz; stoga postojanje levog inverza implicira postojanje desnog (i obratno). Vidi invertibilna matrica za detaljniji opis.

Opštije, kvadratna matrica nad komutativnim prstenom $R$ je invertibilna ako i samo ako je enjna determinanta invertibilna u $R$.

Nekvadratne matrice punog ranga imaju jednostrane inverze:

• Za $A:m\times n\mid m>n$ postoji levi inverz: $\underset{A_{\text{left}}^{-1}}{\underbrace{(A^{T}A{)}^{-1}{A}^T}}A=I_n$
• Za $A:m\times n\mid m<n$ postoji desni inverz: $A\underset{A_{\text{right}}^{-1}}{\underbrace{A^T(A{A}^T{)}^{-1}}}=I_m$

Nijedna matrica koja nije punog ranga nema bilo kakav (ni jednostrani) inverz. Međutim, Mur-Penrouzov pseudoinverz postoji za sve matrice, i poklapa se sa levim ili desnim (ili dvostranim) inverzom ako on postoji.

Primer

$A:2\times 3=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]$
Dakle, kako je $m<n$, postoji desni inverz. $A_{desni}^{-1}=A^T(A{A}^T{)}^{-1}$
$A{A}^T=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}14& 32\\ 32& 77\end{array}\right]$
$(A{A}^T{)}^{-1}={\left[\begin{array}{cc}14& 32\\ 32& 77\end{array}\right]}^{-1}=\frac{1}{54}\left[\begin{array}{cc}77& -32\\ -32& 14\end{array}\right]$

$A^T(A{A}^T{)}^{-1}=\frac{1}{54}\left[\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}77& -32\\ -32& 14\end{array}\right]=\frac{1}{18}\left[\begin{array}{cc}-17& 8\\ -2& 2\\ 13& -4\end{array}\right]=A_{desni}^{-1}$

Levi inverz ne postoji, jer $A^{T}A=\left[\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}17& 22& 27\\ 22& 29& 36\\ 27& 36& 45\end{array}\right]$, što je singularna matrica, koja ne može da se invertuje.