Kvadratne matrice

U matematici, kvadratna matrica je matrica u kojoj je broj redova i kolona isti. Taj broj se zove red matrice. Bilo koje dvije kvadratne matrice istog reda mogu se sabirati i množiti.

Osobine kvadratnih matrica

1. Kvadratnu matricu uvijek možemo razviti po elementima bilo kojeg reda i bilo koje kolone. Uvijek dobijamo istu vrijednost determinante.
2. Kvadratna matrica ne mijenja vrijednost, ako zamijenimo redove ili kolone kvadratne matrice u redoslijedu.
3. Kvadratna matrica u kojoj su svi elementi jednog reda ili jedne kolone nule, ima vrijednost jednaku nuli.
4. Ako u kvadratnoj matrici dvije kolone ili dva reda međusobno zamijene položaj, kvadratna matrica mijenja predznak.
5. Kvadratna matrica ne mijenja svoje vrijednosti ako elementima jednog reda (jedne kolone) dodamo odgovarajuće elemente drugog reda (kolone) eventualno pomnožene bilo kojom konstantom.

Glavna dijagonala

Elementi $a_{ii}(i=1,...,n)$ čine glavnu dijagonale kvadratne matrice. Ovi elementi leže na zamišljenoj ravnoj liniji koja se proteže od gornjeg lijevog ugla prema donjem desnom uglu matrice.

Primjer

Glavnu dijagonalu matrice $\left[\begin{array}{cccc}9& 13& 5& 2\\ 1& 11& 7& 6\\ 3& 7& 4& 1\\ 6& 0& 7& 10\end{array}\right]$

čine elementi $a_{11}=9,A_{22}=11,A_{33}=4,A_{44}=10$.

Dijagonala koja prolazi od donjeg lijevog ugla do gornjeg desnog naziva se strana.

Trag matrice

Zbir elemenata na glavnoj dijagonali kvadratne matrice zovemo trag matrice i pišemo $\mathrm{t}\mathrm{r}A$. Tj.

$\mathrm{t}\mathrm{r}A=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}$.

Množenje kvadratnih matrica

Kvadratne matrice imaju redova koliko i kolona, pa se mogu množiti u bilo kojem poretku. U tom slučaju proizvod nije komutativan kao što pokazuje sljedeći primjer.

Primjer

Neka su dane matrice

$A,B\in M_2$

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$ $B=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$

$AB=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0\end{array}\right]$ $BA=\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ c& 0\end{array}\right]$ tj.

$AB\ne BA$

Specijalni slučajevi

• Ako su svi elementi sem elemenata glavne dijagonale jednaki nuli matrica $A$ je diagonalna.
• Ako su svi elementi iznad (ispod) glavne dijagonale jednaki nuli, matrica $A$ zove se donje (gornje) trouglasta matrica.

Naziv	primjer za $n=3$
Dijagonalna	$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& 0& 0\\ 0& a_{22}& 0\\ 0& 0& a_{33}\end{array}\right]$
Donjetrouglasta matrica	$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& 0& 0\\ a_{21}& a_{22}& 0\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$
gornje trouglasta matrica	$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ 0& a_{22}& a_{23}\\ 0& 0& a_{33}\end{array}\right]$

• Ako je $A=[a{\delta }_{ij}]$,tj. ako je matrica dijagonalna i ako su joj elementi na glavnoj dijagonali međusobno jednaki onda je skalarna
• Skalarna matrica je dijagonalna, dok obrat ne vrijedi.
• Nulmatrica $O$ i jedinična matrica $I$ su skalarne matrice. Svaka skalarna matrica ima oblik $\lambda I$, gdje je $\lambda$ realan broj.
• $AI=IA$ za svaku kvadratnu matricu $A$ bilo koja skalarna matrica komutira sa svakom matricom $A\in M_n$
• simetrična matrica, ako je $A^T=A$
• antisimetrična matrica, ako je $A^T=-A$
• ortogonalna matrica, ako je $A^{T}A=I$

Elementi na glavnoj dijagonali antisimetrične matrice su nule. Svaka kvadratna matrica se može na jedinstven način razložiti na zbir simetrične i antisimetrične matrice

$A=\frac{1}{2}(A+A^T)+\frac{1}{2}(A-A^T)$

Da je $A+A^T$ simetrična, a $A-A^T$ antisimetrična matrica, što se vidi upotrebom gornjih osobina.

Jedinična matrica

Jedinična matrica $I_n$ je $n\times n$ matrica kod koje su svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki 1, a ostali elementi su jednaki $0$.

$E_1=\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right],E_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],\cdots ,E_n=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$

Množenje jediničnom matricom

$A{I}_n=I_{n}A=A$

Simetrične i antisimetrične matrice

Kvadratna matrica $A$, koja je identična sa svojon transponiranom matricom , tj. $A=A^T$, je simetrična. Ako je $A$ jednaka negativnoj transponiranoj matrici tj $A=-A^T$ onda je asimetrična.

Inverzna matrica

Kvadratna matrica $A$ je inverzna matrica matrice $B$ ako vrijedi.u B, tako da$AB=BA=I$

Ako postoji takva matrica B ona je jedinstvena i naziva se inverzna matrica matrice $A$. Označava se sa $A^{-1}$.

Izvori

• Kvadratne matrice\ 26.10.2001.
• DETERMINANTE I MATRICE\ 20.01.1996.