Laplaceova transformacija

Laplasova transformacija (nazvana po Pjer-Simon Laplasu) je integralna transformacija, koja datu kauzalnu funkciju f(t) (original) preslikava iz vremenskog domena (t = vreme) u funkciju F(s) u kompleksnom spektralnom domenu. Laplasova transformacija, iako je dobila ime u njegovu čast, jer je ovu transformaciju koristio u svom radu o teoriji verovatnoće, transformaciju je zapravo otkrio Leonard Ojler, švajcarski matematičar iz osamnaestog veka.

Pojam originala

Funkcija t->f(t) naziva se originalom ako ispunjava sledeće uslove:

1. f je integrabilna na svakom konačnom intervalu t ose

2. za svako t<0, f(t)=0

3. postoje M i s₀, tako da je $|f(t)|\le M{e}^{s_{0}t}$

Definicija Laplasove transformacije

$F(s)=ℒ\{f(t)\}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt.(s=\sigma +\mathrm{i}\omega ;\sigma >0;t\ge 0)$

Funkcija F(s) je »slika« ili laplasova transformacija »originala« f(t).

Za slučaj da je $s=i\omega$ dobija se jednostrana Furijeova transformacija:

$F(\omega )=ℱ\{f(t)\}$

$=ℒ\{f(t)\}{|}_{s=i\omega }=F(s){|}_{s=i\omega }$

$=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-ı\omega t}f(t)\mathrm{d}t.$

Osobine

Linearnost

$ℒ\{\sum _{k=1}^n{\alpha }_k{f}_k(t)\}=\sum _{k=1}^n{\alpha }_k{F}_k(s)$

Teorema sličnosti

Ako je $a>0$, tada je $ℒ\{f(at)\}=\frac{1}{a}F(\frac{s}{a})$, pri čemu je $ℒ\{f(t)\}=F(s)$

Diferenciranje originala

Ako je $a>0$ i $ℒ\{f(t)\}=F(s)$, tada je $ℒ\{f^{\prime }(t)\}=sF(s)-f(0)$

Diferenciranje slike

Ako je $ℒ\{f(t)\}=F(s)$, tada je $ℒ\{tf(t)\}=-F^{\prime }(s)$, odnosno indukcijom se potvrđuje da važi $ℒ\{t^{n}f(t)\}=(-1{)}^n{F}^{(n)}(s)$

Integracija originala

Ako je $a>0$ i $ℒ\{f(t)\}=F(s)$, tada je $ℒ\{\underset{0}{\overset{t}{\int }}t(\tau )d\tau \}=\frac{1}{s}F(s)$

Integracija slike

Ako postoji integral $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(s)ds$, tada je $ℒ\{\frac{f(t)}{t}\}=\underset{s}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(\sigma )d\sigma$

Teorema pomeranja

$ℒ\{e^{s_{0}t}f(t)\}=F(s-s_0)$

Teorema kašnjenja

$ℒ\{f(t-\tau )\}=-e^{-s\tau }F(s),\tau \ge 0$

Laplasova transformacija konvolucije funkcija

$ℒ\{f*g\}=ℒ\{f\}ℒ\{g\}$

Ova osobina je poznata kao Borelova teorema. Napomena: definicija konvolucije je: $(f\ast g)(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x-t)\cdot g(t)\cdot dt=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\cdot g(x-t)\cdot dt$

Laplasova transformacija periodičnih funkcija

Ako $f(t)$ ima osobinu $f(t+T)=f(t)$, tada važi $ℒ\{f(t)\}=\underset{0}{\overset{T}{\int }}\frac{e^{-su}}{1-e^{-sT}}f(u)du$

Dokaz

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt=\underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt{\mid }_{t=u}+\underset{T}{\overset{2T}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt{\mid }_{t=u+T}\underset{2T}{\overset{3T}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt{\mid }_{t=u+2T}+...$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt=\underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{-st}f(u)du+\underset{T}{\overset{2T}{\int }}{e}^{-s(u+T)}f(u+T)du+\underset{2T}{\overset{3T}{\int }}{e}^{-s(u+2T)}f(u+2T)du+...$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt=\underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{-su}f(u)du+e^{-sT}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{-su}f(u)du+e^{-2sT}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{-su}f(u)dT+...$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt=(1+e^{-sT}+e^{-2sT}+...)\underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{-sT}f(T)du{\mid }_{u=t}$

Odakle sledi: $𝓋\{f\}=\frac{1}{1-e^{-Ts}}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt$

Tabela najčešće korišćenih Laplasovih transformacija

Jednostrana Laplasova transformacija ima smisla samo za ne-negativne vrednosti -{t}-, stoga su sve vremenske funkcije u tabeli pomožene sa Hevisajdovom funkcijom.

ID	Funkcija	Vremenski domen $x(t)={ℒ}^{-1}\{X(s)\}$	Laplasov -{s}--domen (frekventni domen) $X(s)=ℒ\{x(t)\}$	Oblast konvergencije za kauzalne sisteme
1	idealno kašnjenje	$\delta (t-\tau )$	$e^{-\tau s}$
1a	jedinični impuls	$\delta (t)$	$1$	$s$
2	zakašnjeni -{n}--ti stepen sa frekvencijskim pomeranjem	$\frac{(t-\tau {)}^n}{n!}{e}^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )$	$\frac{e^{-\tau s}}{(s+\alpha {)}^{n+1}}$	$\text{Re}\{s\}>0$
2a	-{n}--ti stepen (za ceo broj -{n}-)	$\frac{t^n}{n!}\cdot u(t)$	$\frac{1}{s^{n+1}}$	$\text{Re}\{s\}>0$
2a.1	-{q}--ti stepen (za realno -{q}-)	$\frac{t^q}{\mathrm{\Gamma }(q+1)}\cdot u(t)$	$\frac{1}{s^{q+1}}$	$\text{Re}\{s\}>0$
2a.2	Hevisajdova funkcija	$u(t)$	$\frac{1}{s}$	$\text{Re}\{s\}>0$
2b	zakašnjena Hevisajdova funkcija	$u(t-\tau )$	$\frac{e^{-\tau s}}{s}$	$\text{Re}\{s\}>0$
2c	rampa funkcija	$t\cdot u(t)$	$\frac{1}{s^2}$	$\text{Re}\{s\}>0$
2d	frekvencijsko pomeranje -{n}--tog reda	$\frac{t^n}{n!}{e}^{-\alpha t}\cdot u(t)$	$\frac{1}{(s+\alpha {)}^{n+1}}$	$\text{Re}\{s\}>-\alpha$
2d.1	eksponencijalno opadanje	$e^{-\alpha t}\cdot u(t)$	$\frac{1}{s+\alpha }$	$\text{Re}\{s\}>-\alpha$
3	eksponencijalno približavanje	$(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)$	$\frac{\alpha }{s(s+\alpha )}$	$\text{Re}\{s\}>0$
4	sinus	$\sin (\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$	$\text{Re}\{s\}>0$
5	kosinus	$\cos (\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$	$\text{Re}\{s\}>0$
6	sinus hiperbolikus	$\sinh (\alpha t)\cdot u(t)$	$\frac{\alpha }{s^2-{\alpha }^2}$	$\text{Re}\{s\}>|\alpha |$
7	kosinus hiperbolikus	$\cosh (\alpha t)\cdot u(t)$	$\frac{s}{s^2-{\alpha }^2}$	$\text{Re}\{s\}>|\alpha |$
8	eksponencijalno opadajući sinus	$e^{\alpha t}\sin (\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{\omega }{(s-\alpha {)}^2+{\omega }^2}$	$\text{Re}\{s\}>\alpha$
9	eksponencijalno opadajući kosinus	$e^{\alpha t}\cos (\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{s-\alpha }{(s-\alpha {)}^2+{\omega }^2}$	$\text{Re}\{s\}>\alpha$
10	-{n}--ti koren	$\sqrt[n]{t}\cdot u(t)$	$s^{-(n+1)/n}\cdot \mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{n})$	$\text{Re}\{s\}>0$
11	prirodni logaritam	$\ln (t)\cdot u(t)$	$-\frac{1}{s}[\ln (s)+\gamma ]$	$\text{Re}\{s\}>0$
12	Beselova funkcija prve vrste, reda -{n}-	$J_n(\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{{\omega }^n{(s+\sqrt{s^2+{\omega }^2})}^{-n}}{\sqrt{s^2+{\omega }^2}}$	$\text{Re}\{s\}>0$ $(n>-1)$
13	modifikovana Beselova funkcija prve vrste, reda -{n}-	$I_n(\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{{\omega }^n{(s+\sqrt{s^2-{\omega }^2})}^{-n}}{\sqrt{s^2-{\omega }^2}}$	$\text{Re}\{s\}>|\omega |$
14	Beselova funkcija druge vrste, nultog reda	$Y_0(\alpha t)\cdot u(t)$	$-\frac{2{\sinh }^{-1}(s/\alpha )}{\pi \sqrt{s^2+{\alpha }^2}}$	$\text{Re}\{s\}>0$
15	modifikovana Beselova funkcija druge vrste, nultog reda	$K_0(\alpha t)\cdot u(t)$
16	funkcija greške	$\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(t)\cdot u(t)$	$\frac{e^{s^2/4}(1-\mathrm{erf}(s/2))}{s}$	$\text{Re}\{s\}>0$
Objašnjenja: $u(t)$ predstavlja Hevisajdovu funkciju. $\delta (t)$ predstavlja Dirakovu delta funkciju. $\mathrm{\Gamma }(z)$ predstavlja Gama funkciju. $\gamma$ je Ojler-Maskeronijeva konstanta. $t$, je realan broj koji obično predstavlja vreme, iako može da se odnosi na bilo koju dimenziju. $s$ je kompleksna ugaona frekvencija, a $\text{Re}\{s\}$ je njen realni deo. $\alpha$, $\beta$, $\tau$, and $\omega$ su realni brojevi. $n$, je ceo broj. Kauzalni sistem je sistem u kome je impulsni odziv -{h(t)}- nula za svako vreme -{t<0}-. Vidi još: kauzalnost.

Inverzna Laplasova transformacija

U opšti slučaj, original f(t) date slike F(s) dobija se rešavanjem Bromvičovog integrala:

${ℒ}^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{2\pi ı}\underset{\gamma -ı\mathrm{\infty }}{\overset{\gamma +ı\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{st}F(s)ds\gamma >s_0,$

gde je $s_0$ realni deo bilo kog singulariteta funkcije $F(s)$.

S obzirom da se ovde integrali kompleksna promenljiva, potrebno je koristiti metode kompleksne matematičke analize. Mnogi primeri inverzne Laplasove transformacije navedeni su u tabeli iznad. U praksi, funkcije se transformišu u primere iz tablice, na primer razlaganjem na proste faktore.

Diskretna Laplasova transformacija

Za funkciju celobrojne promenljive $f(n)$ njena diskretna Laplasova transformacija se definiše kao:

$F^{\ast }(s)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-sn}f(n)$

Konvergencija ovog reda zavisi od $s$.

Sve osobine i teoreme regularne Laplasove transformacije imaju svoje ekvivalente u diskretnoj Laplasovoj transformaciji.

Primena

U matematici Laplasova transformacija se koristi za analiziranje linearnih, vremenski nepromenljivih sistema, kao: električnih kola, harmonijskih oscilatora, optičkih uređaja i mehaničkih sistema. Ima primene u rešavanju diferencijalnih jednačina i teoriji verovatnoće.

Literatura

• Šablon:Citation.
• Šablon:Citation
• Šablon:Citation.
• Šablon:Citation.
• Šablon:Citation.
• Šablon:Citation.
• Šablon:Citation.
• Šablon:Citation.
• Šablon:Citation.
• Šablon:Citation.
• Šablon:Citation.
• Šablon:Citation
• Šablon:Citation

• Šablon:Citation
• Šablon:Citation
• Šablon:Citation.
• Šablon:Citation.
• Šablon:Citation, Chapters 3–5.
• Šablon:Citation.
• Šablon:Citation.

Vanjske veze

• -{R|http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html}-
• -{R|http://www.mathe.braunling.de/Laplace.htm}- Šablon:Webarchive
• -{R|http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/aufgaben/L/laplace_transformation.html}-
• -{R|http://www3.htl-hl.ac.at/homepage/bok/dt/mathe/mindex.html}- Šablon:Webarchive
• -{R|http://www.seeit.de/xedu/formeln/Lars%20Weiser/laplace.pdf}- Šablon:Webarchive
• -{R|http://www-hm.ma.tum.de/archiv/mw4/ss05/folien/Laplace.pdf}- Šablon:Webarchive
• -{R|http://www.convertit.com/Go/ConvertIt/Reference/AMS55.ASP?Res=150&Page=1020}-