Zlatni trougao

U matematici zlatni trougao je jednakokraki trougao kome je omjer dužine kraka i dužine osnovice jednak zlatnom broju.

$\frac{a}{b}=\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$

$\mathrm{\Theta }=2si{n}^{-1}(\frac{b}{2a})=2si{n}^{-1}(\frac{b}{2\phi }=\frac{\pi }{5}$

Može se naći  unutar pravilnog  Ikosaedra, dodekaedra i petougla, pentagrama, desetougla..

$\theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{\phi }{2}\right)=\frac{\pi }{5}=36^{\circ }.$

Kako je zbir uglova trougla 180^o, to su uglovi na osnovici zlatnog trougla po 72^o.

To je jedini trougao kod koga se uglovi nalaze u omjeru $2:2:1.$

$a:b=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Sa slike je

$sin(\frac{\alpha }{2})=\frac{\frac{a}{2}}{b}=\frac{1}{1+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}=sin(\frac{\pi }{10})$

Iz ovog slijedi da je

$\frac{\alpha }{2}=\frac{\pi }{10}=>\alpha =\frac{\pi }{5}=>\alpha =36^o$

Pomoću ovog trougla crta se logaritamska spirala

Svi zlatni trouglovi su slični. To proizlazi iz stava U-U-U o sličnosti trouglova.

Omjer poluprečnika pravilnom desetetouglu opisane kružnice i dužine stranice toga desetougla jednak je zlatnom broju.

$R=\frac{1+\sqrt{5}}{2}a$

Zlatni trougao nalazimo i unutar pravilnog petougla

$S_5=(5-2)180^o=540^o$

$\gamma =540^o/5=108^o$

$\delta =(08^o-\gamma )/2=36^o$

$\beta +\delta =108^o=>\beta =72^o$

Zlatni gnomom je jednakokraki trougao kome je omjer dužine kraka i dužine osnovice jednak $\frac{1}{\phi }=\phi -1$.Njegovi uglovi su $36^o,36^o,108^o$