Eksponencijalna funkcija

Eksponencijalna funkcija $y=e^x$

Eksponencijalna funkcija jedna je od najvažijih u matematici, izražena kao y = e^x gdje je broj e prirodna konstanta i baza prirodnih logritama. Funkcija y = e^x je definirana unutar cijelog skupa realnih brojeva, monotono je rastuća porastom nezavisne varijable x, gdje se brzina rasta povećava kako raste x.

Graf funkcije (slika desno) leži iznad x-osi, ali joj se asimptotski približava kako x teži prema sve manjim negativnim vrijednostima. Brzina rasta funkcije je u svakoj točki jednaka vrijednosti funkcije u toj točki. Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije je funkcija prirodnog logaritma y = ln(x) te se u starijim izvorima eksponencijalna funkcija spominje kao antilogaritamska funkcija.

Definicija

Eksponencijalna funkcija (plavo) i vrijednost limesa za n=0 do n=8 (crveno).

Eksponencijalna funkcija e^x može biti definirana kao niz potencija razvijenih u Taylorov red:

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots .$

Eksponencijalna funkcija se može također izraziti i kao limes:

$e^x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{x}{n})}^n.$

Kako n raste, vrijednost limesa izraza se sve više približava vrijednosti e^x (slika desno).

Jedinstveno svojstvo eksponencijalne funkcije može se izraziti pomoću jednakosti

$e^{(x+y)}=e^x\cdot e^y$

odnosno napisano drukčije

$\exp (x+y)=\exp (x)\cdot \exp (y).$

Derivacija

Važnost eksponencijalne funkcije u matematici i znanosti potječe uglavnom iz svojstava njezine derivacije koja ima svojstvo da je

$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x$

što znači da je funkcija e^x ujedno i svoja derivacija. Isto takvo svojstvo imaju i funkcija oblika Ke^x gdje je K konstanta.

Za sve funkcije takvih svojstava vrijedi da je:

• strmina, odn. nagib grafa funkcije u svakoj točki jednak vrijednosti funkcije u toj točki,
• brzina porasta funkcije za vrijednost slobodne varijable x jednaka vrijednosti funkcije u x,
• eksponencijalna funkcije rješenje diferencijalne jednadžbe y ′ = y.

Štoviše, i drugi oblici diferencijalnih jednadžbi nalaze rješenje u eksponencijalnim funkcijama uključivši Schrödingerovu jednadžbu, Laplaceovu jednadžbu te jednadžbu jednostavnog harmoničkog gibanja.

Eksponencijalna funkcija s realnim brojem a kao bazom

Graf funkcije y=a^x za različite baze a: baza10 (zeleno), baza e (crveno), baza 2 (plavo) i baza ½ (cijan). Svaka krivulja prolazi točkom (0,1), a za x=1 vrijednost y funkcije upravo je jednaka bazi.

Katkada se pojam eksponencijalne funkcije koristi općenitije za funkcije oblika

$y=a^x$

gdje baza a može biti i bilo koji pozitivni realni broj, a ne nužno broj e.

Za eksponencijalne funkcije s drugim bazama vrijedi da je

$\frac{d}{dx}{a}^x=(\ln a)a^x.$

Eksponencijalna funkcija u kompleksnoj ravnini

Eksponencijalna funkcija može se definirati i u kompleksnoj ravnini na nekoliko ravnopravnih načina. Neki od njih odražavaju iste izraze kao i za eksponencijalne funkcije realne varijable. Na primjer, eksponencijalna funkcija kompleksne varijable može se izraziti u obliku reda potencija gdje su realne vrijednosti zamijenjene kompleksnima:

$e^z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}$

Koristeći ovu definiciju jednostavno je pokazati da jednakost

$\frac{d}{dz}{e}^z=e^z$

vrijedi i u kompleksnoj ravnini.

Razmatrana kao funkcija definirana u kompleksnoj ravnini, eksponencijalna funkcija zadržava svoja osnovna svojstva:

$e^{z+w}=e^z{e}^w$

$e^0=1$

$e^z\ne 0$

$\frac{d}{dz}{e}^z=e^z$

za sve kompleksne brojeve z i w. Eksponencijalna funkcija može biti i periodička kada je funkcija imaginarnog argumenta perioda $2\pi i$ jer vrijedi

$e^{a+bi}=e^a(\cos b+i\sin b)$

i

$e^z=e^x{e}^{yi}=e^x(\cos y+i\sin y)=e^x\cos y+i{e}^x\sin y.$

gdje su a i b realne vrijednosti. Jednakost povezuje eksponencijalnu funkciju s trigonometrijskim funkcijama i dalje s hiperboličkim funkcijama. Štoviše, može se definirati i funkcija oblika a^b, gdje su i a i b kompleksne veličine.

Pojam prirodnog logaritma se može također proširiti i na funkciju kompleksnog argumenta ln(z), gdje možemo definirati općenitije da je

$z^w=e^{w\ln z}$

za sve kompleksne brojeve z i w. Ovo je također višeznačna funkcija i identitet vrijedi ukoliko se uzme u obzir višeznačnost funkcije. Naime, upravo zbog višeznačnosti funkcije općenito ne vrijedi pravilo množenja eksponenata za pozitivne realne brojeve

$(e^z{)}^w\ne e^{\left(zw\right)}$

Literatura

• Gusić J., Mladinić P., Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, 2006.
• Antoliš S., Copić A., "Matematika 4", Školska knjiga, 2006.